更新しないと検索順位は下がるのでしょうか？

やはり、Webサイトを更新しないと、検索順位は下がるのでしょうか？

結論から言うと、「イエス」でもあり「ノー」でもあります。

この質問は、ページ単位か、サイト単位かでも少し回答が変わってきます。

古いページは新しくて品質が高いページに置き換えられていく

ページ単位の場合、同じ内容であれば、基本的に新しいページの方が上に行きやすいです。言い換えれば、古い情報はどんどん順位が下がっていきます。
もちろん、新しい順でランキングされるわけではなく、ページの品質も重要です。

例えば、「SEO対策 やり方」などで検索して見ると、10位以内はここ1〜2年の記事ばかりです。しかも、そのうち6件は、3ヶ月以内の記事です（2021年7月3日時点）。
10位以内のページの文字数は、中央値で17431文字（ビックリ！）。どれも素晴らしい品質のページばかりです。

要するに、古いページは、新しくて品質が高いページに置き換えられていきます。ですので、もし全く新しい情報が無いキーワードの場合は、古いページがずっと上位表示されることもあります。とてもニッチな業界などでは、たまにそういう幸運なページがあります。

更新頻度の低いWebサイトより高いWebサイトの方が上位に行きやすい!?

それではWebサイト全体ではどうなのでしょうか？更新頻度の低いWebサイトより、高いWebサイトの方が上位に行きやすいのでしょうか？

Googleサイドは、更新頻度そのものは別に評価していないと言っています。
SEO会社や調査機関が公表している資料にも、更新頻度はランキング要因に入っていません。

しかし、現場で多くのWebサイトを見ていると、結果として、まめに更新をすると良い結果に結びつき、長く更新しないと悪い結果に結びつくことが多いです。

それはなぜでしょうか？

SEOは相対評価です。

例えば、御社が全く更新をせず、同じキーワードを狙っているライバル社が、毎週、更新をしているという状況をイメージしてみて下さい。

ライバル社のWebサイトは毎週コンテンツ（ページ）が増えていきます。
数ヶ月から1年ぐらい経つと、御社のWebサイトとライバル社もWebサイトのコンテンツの充実度には結構な差ができます。
検索エンジンは、オリジナルな情報が充実しているWebサイトの方が、充実していないWebサイトよりも、そのキーワード（テーマ）において重要なWebサイトだと判断しますから、結果的にライバル社のWebサイトが上位に表示されやすくなります。

だから、SEOのためにも更新した方が良いという結論になるのです。

逆に、ライバル社がほとんど更新をしていない状況では、更新しなくても上位表示可能なこともあります。

実際に当社でも、あるニッチキーワードに関して専門サイトを持っていますが、長く放ったらかしでした。そして、ライバルもほとんど更新していなかったのでそのキーワードではずっと1位をキープしていましたが、最近はライバルも増えてきて、流石に下がってきてしまっています。

最近はこのような長く放ったらかしでも大丈夫というような牧歌的なキーワードはどんどん無くなってきています。
ですから、やはりコツコツと更新していくことをオススメします。